From b205d7211e5dadb25ab152a3cbe09724fed90d61 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Basyrov Rustam Date: Wed, 30 Oct 2024 18:12:39 +0300 Subject: [PATCH 1/3] add new article --- docs/maths/gen_fun.md | 496 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ docs/maths/index.md | 2 + 2 files changed, 498 insertions(+) create mode 100644 docs/maths/gen_fun.md diff --git a/docs/maths/gen_fun.md b/docs/maths/gen_fun.md new file mode 100644 index 0000000..d144566 --- /dev/null +++ b/docs/maths/gen_fun.md @@ -0,0 +1,496 @@ +# Приложение производящей функции последовательности к числам Фибоначчи +## Мотивация + +Идея данной публикации родилась в процессе чтения статьи на [викиконспектах](https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D1.80.D0.B5.D1.88.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D0.B7.D0.B0.D0.B4.D0.B0.D1.87_.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4.D0.BE.D0.BC_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B7.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D1.8F.D1.89.D0.B8.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9) о производящих рядах. Мне показалось очень интересным, что существует способ решения рекуррентных уравнений с помощью бесконечных сумм. + +Здесь мы собираемся рассмотреть что такое производящая функция, разложение в ряд Тейлора, а также затронем математическую индукцию. + +## Ликбез + +Для начала, по моему мнению, нужно кратко описать сущности, которые появляются в статье. + +### Кратко о производящей функции последовательности + +_**Производя́щая фу́нкция после́довательности** — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа._ ([Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8)) + +Для последовательности $\{a_n\}$ производящим рядом называется бесконечная сумма: + +$$\Large{ +G(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n. +}$$ + +В данной статье описывается, как использовать производящий ряд последовательности для решения рекуррентных уравнений вида: + +$$\Large{ +a_n = f(a_{n-1}, \dots, a_0). +}$$ + +### Кратко о ряде Тейлора + +_**Ряд Те́йлора** — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций._ ([Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0)) + +Для бесконечно дифференцируемой функции $f(x)$ в окрестности точки $a$ рядом Тейлора называется ряд: + +$$\Large{ +f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. +}$$ + +В нашем случае этот ряд будет полезен тем, что когда мы вычислим производящую функцию последовательности в виде дроби, мы сможем разложить её в ряд и найти общую формулу для элементов последовательности. + +### Кратко о математической индукции + +_**Математическая индукция** — метод математического +доказательства, который используется, чтобы доказать +истинность некоторого утверждения для всех натуральных +чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения +с номером $1$ — база (базис) индукции, а затем +доказывается, что если верно утверждение с номером $n$, то +верно и следующее утверждение с номером $n+1$ — шаг +индукции, или индукционный переход._ +([Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F)) + +Нам понадобится этот метод для того, чтобы доказать верность формулы, которую мы получим. Применяя к нашему случаю, можно сформулировать идею доказательства так: +1. Нужно доказать **базу индукции**. То есть, что формула верна для $a_0$ и $a_1$. +2. Нужно доказать **переход индукции**. В нашем случае, это означает, что нужно проверить, что формула удовлетворяет изначальному рекуррентному уравнению. + +Идея доказательства состоит в том, что для любого $k > 1$ наша формула будет верна, потому что она рекурсивно раскладывается с помощью **верного перехода** до **верных базовых случаев**. + +## Получение ряда в замкнутом виде + +Первое, что нам нужно сделать, это найти ряд в замкнутом виде, т. е. в виде дроби. + +По определению: +$$ +\Large{ +G(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n +} +$$ + +Тогда можно вынести первые два члена, которые известны: + +$$\Large{ +G(z) = a_0 + a_1 z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n +}$$ + +По формуле чисел Фибоначчи: + +$$ +\Large{ +G(z) = a_0 + a_1 z + \sum_{n=2}^\infty (a_{n-1} + a_{n-2}) z^n = +} +$$ + +$$ +\Large{ += a_0 + a_1 z + \sum_{n=2}^\infty a_{n-1} z^{n-1} z + +\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} z^{n-2} z^2 = +} +$$ + +$$ +\Large{ += a_0 + a_1 z + z\underbrace{\sum_{n=2}^\infty a_{n-1} z^{n-1}}_{(I)} + +z^2 \underbrace{\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} z^{n-2}}_{(II)} +} +$$ + +Рассмотрим $(I)$ и $(II)$. + +$$\Large{ +(I) = \sum_{n=2}^\infty a_{n-1} z^{n-1} = \Big< +\begin{split} +k = n-1\\ +n = k+1 +\end{split} +\Big> = \sum_{k=1}^\infty a_{k} z^{k} = +}$$ + +$$\Large{ += a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_{k} z^{k} - a_0 += \sum_{k=0}^\infty a_{k} z^{k} - a_0 = G(z) - a_0 +}$$ + +$$\Large{ +(II) = \sum_{n=2}^\infty a_{n-2} z^{n-2} = \Big< +\begin{split} +k = n-2\\ +n = k+2 +\end{split} +\Big> = \sum_{k=0}^\infty a_{k} z^{k} = G(z) +}$$ + +Здесь мы производим замену и приводим суммы к виду $\sum_{i=0}^\infty a_iz^i$. Очевидно, значение суммы не зависит от названия счетчика $i$. + +Таким образом: +$$\Large{ +G(z) = a_0 + a_1 z + z \left( G\left(z\right) - a_0 \right) + z^2G(z) = +}$$ + +$$\Large{ += a_0 + a_1 z + z G(z) - a_0 z + z^2 G(z) +}$$ + +Перенесем все члены с $G(z)$ влево: + +$$\Large{ +G(z) - zG(z) - z^2 G(z) = a_0 +a_1z-a_0z +}$$ + +$$\Large{ +G(z)\left(1 - z - z^2\right) = a_0 +a_1z-a_0z +}$$ + +В итоге, получаем: + +$$\Large{ +G(z) = \frac{a_0 +a_1z-a_0z}{1 - z - z^2} +}$$ + +*Замечание*: получившееся дробь правильная. То есть степень многочлена в знаменателе больше, чем в числителе. + +## Разложение дроби на элементарные дроби + +Мы получили ряд: + +$$\Large{ +G(z) = \frac{a_0 + a_1 z - a_0 z}{1 - z - z^2} +}$$ + +Рассмотрим знаменатель: + +$$\Large{ +-z^2 - z + 1 = 0 +}$$ + +Разложим его на множители: + +$$\Large{ +D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 +}$$ + +$$\Large{ +\begin{split} +z_{1} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ +z_{2} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} +\end{split} +}$$ + +Тогда: + +$$\Large{ +-z^2 -z + 1 = -(z - z_1)(z - z_2) +}$$ + +Таким образом, мы можем записать: + +$$\Large{ +G(z) = \frac{a_0 + a_1 z - a_0 z}{-(z-z_1)(z-z_2)} = +\frac{A}{z-z_1} + \frac{B}{z - z_2} +}$$ + +Домножим обе части на $-(z-z_1)(z-z_2)$: + +$$\Large{ +a_0 + a_1 z - a_0 z = -A(z-z_2) - B(z-z_1) +}$$ + +Раскроем скобки и сгруппируем относительно степеней $z$: + +$$\Large{ +a_0 + z(a_1 - a_0) = -Az + Az_2 - Bz + Bz_1 = (Az_2 + Bz_1) + z(-A -B) +}$$ + +Получаем систему линейных уравнений с двумя неизвестными: + +$$\Large{ +\begin{cases} + a_0 = Az_2 + B z_1\\ + a_1 - a_0 = -A-B +\end{cases} +}$$ + +Решение тривиально, опустим его. Приведу только ответ: + +$$\Large{ +\begin{cases} +&A = a_0 - a_1 - \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ +&B = \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2} +\end{cases} +}$$ + +Таким образом, получаем следующий результат: + +$$\Large{ +\begin{cases} +z_{1} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ +z_{2} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ +A = a_0 - a_1 - \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ +B = \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ +G(z) = \frac{A}{z - z_1} + \frac{B}{z - z_2} +\end{cases} +}$$ + +## Доказательство по индукции + +### База индукции + +#### $n = 0$ + +Подставим $n=0$ в полученную формулу: + +$$\Large{ +a_0 = \left( + -\frac{A}{z_1} - \frac{B}{z_2} +\right) +}$$ + +Рассмотрим $A$: + +$$\Large{ +A = \frac{a_0z_1-a_0z_2-a_1z_1+a_1z_2-a_0+a_0z_2-a_1z_2}{z_1-z_2} = +}$$ + +$$\Large{ + = \frac{a_0z_1-\cancelto{0}{a_0z_2+a_0z_2}-a_1z_1+ +\cancelto{0}{a_1z_2-a_1z_2}-a_0}{z_1-z_2} = +}$$ + +$$\Large{ + = \frac{a_0z_1-a_1z_1-a_0}{z_1-z_2} = z_1\frac{a_0-a_1}{z_1-z_2}-\frac{a_0}{z_1-z_2} +}$$ + +Проведя аналогичные вычисления для $B$ получим: +$$\Large{ +B = \frac{a_0}{z_1-z_2} - z_2 \frac{a_0-a_1}{z_1-z_2} +}$$ + +Тогда: + +$$\Large{ +a_0 = \frac{a_0}{z_1(z_1-z_2)} - \frac{z_1}{z_1}\frac{a_0-a_1}{z_1-z_2} + +}$$ + +$$\Large{ ++ \frac{z_2}{z_2}\frac{a_0-a_1}{z_1-z_2} - \frac{a_0}{z_1-z_2} = +}$$ + +$$\Large{ +=\frac{a_0}{z_1(z_1-z_2)} - \cancelto{0}{\frac{a_0-a_1}{z_1-z_2} + +\frac{a_0-a_1}{z_1-z_2}} - \frac{a_0}{z_2(z_1-z_2)} = +}$$ + +$$\Large{ += \frac{a_0z_2-a_0z_1}{z_1z_2(z_1-z_2)} = +-\frac{a_0(z_1-z_2)}{z_1z_2(z_1-z_2)} = -\frac{a_0}{z_1z_2} +}$$ + +Рассмотрим $z_1z_2$: + +$$\Large{ +z_1z_2 = \frac{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{2\cdot2} = \frac{1-5}{4} = -1 +}$$ + +Подставив результат в наше выражение: +$$\Large{ +-\frac{a_0}{-1} = a_0, \text{Q.E.D.} +}$$ + +#### $n = 1$ + +По нашей формуле: + +$$\Large{ +a_1 = +-\left( + \frac{A}{z_1^2} + + \frac{B}{z_2^2} +\right) = +}$$ + +$$\Large{ += -\left( + \frac{a_0-a_1}{z_1(z_1-z_2)} - \frac{a_0}{z_1(z_1-z_2)} + + \frac{a_0}{z_2(z_1-z_2)} - \frac{a_0-a_1}{z_2(z_1-z_2)} +\right) = +}$$ + +$$\Large{ += -\left( + \frac{a_0-a_1}{z_1-z_2} \left( + \frac{1}{z_1} - + \frac{1}{z_2} + \right) + + \frac{a_0}{z_1-z_2} \left( + \frac{1}{z_1^2} - + \frac{1}{z_2^2} + \right) +\right) = +}$$ + +$$\Large{ += -\left( + \frac{(a_0-a_1)(z_2-z_1)}{z_1z_2(z_1-z_2)} + + \frac{a_0(z_1^2-z_2^2)}{z_1^2z_2^2(z_1-z_2)} + +\right) = +}$$ + +Как мы доказали: +$$\Large{ +z_1z_2 = -1 +}$$ + +Также рассмотрим $z_1 + z_2$: + +$$\Large{ +z_1+z_2 = \frac{-1- +\cancelto{0}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} +-1}{2} = -1 +}$$ + +Подставив значения в выражение, получим: + +$$\Large{ += -\left( + a_0 - a_1 + + \frac{a_0(z_1-z_2)(z_1+z_2)}{(z_1-z_2)} + +\right) = +}$$ + +$$\Large{ += -\left( + \cancelto{0}{a_0 - a_0} + -a_1 +\right) = -(-a_1) = a_1, \text{Q.E.D.} +}$$ + +### Переход индукции + +По определению чисел Фибоначчи: + +$$\Large{ +a_{n+2} = a_{n+1}+a_n +}$$ + +где: + +$$\Large{ +a_n = \left( +-\frac{A}{z_1^{n+1}}-\frac{B}{z_2^{n+1}} +\right) +}$$ + +Подставим это в формулу: + +$$\Large{ +a_{n+2} = a_{n+1}+a_n = +-\frac{A}{z_1^{n+1}}-\frac{B}{z_2^{n+1}} +-\frac{A}{z_1^{n+2}}-\frac{B}{z_2^{n+2}} = +}$$ + +Сгруппируем по $A$ и $B$: + +$$\Large{ += -A \underbrace{\left( +\frac{1}{z_1^{n+1}}+ +\frac{1}{z_1^{n+2}} +\right)}_{(I)} +% +-B \underbrace{\left( +\frac{1}{z_2^{n+1}}+ +\frac{1}{z_2^{n+2}} +\right)}_{(II)} +}$$ + +Рассмотрим $(I)$ и $(II)$: + +$$\Large{ +(I) = +\frac{z_1+1}{z_1^{n+2}} +}$$ + +$$\Large{ +z_1 + 1 = +-\frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1 = +\frac{-1-\sqrt{5}+2}{2} = +}$$ + +$$\Large{ += +\frac{1-\sqrt{5}}{2} = +\frac{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{2(1+\sqrt{5})} = +}$$ + +$$\Large{ += \frac{1 - 5}{2(1+\sqrt{5})} = +\frac{-4}{2(1+\sqrt{5})} = + - \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{1}{z_1} +}$$ + +Таким образом: + +$$\Large{ +(I) = \frac{1}{z_1^{n+3}} +}$$ + +Аналогично для $(II)$: + +$$\Large{ +(II) = +\frac{z_2+1}{z_2^{n+2}} +}$$ + +$$\Large{ +z_2 + 1 = +-\frac{1-\sqrt{5}}{2} + 1 = +\frac{-1+\sqrt{5}+2}{2} = +}$$ + +$$\Large{ += \frac{-1+\sqrt{5}+2}{2} = +\frac{1+\sqrt{5}}{2} = +}$$ + +$$\Large{ += \frac{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{2(1-\sqrt{5})} = +\frac{1 - 5}{2(1-\sqrt{5})} = +}$$ + +$$\Large{ += \frac{-4}{2(1-\sqrt{5})} = +-\frac{2}{1-\sqrt{5}} = +\frac{1}{z_2} +}$$ + +Подставив это в $(II)$: + +$$\Large{ +(II) = \frac{1}{z_2^{n+3}} +}$$ + +Подставляя $(I)$ и $(II)$: + +$$\Large{ +-A \underbrace{\left( +\frac{1}{z_1^{n+1}}+ +\frac{1}{z_1^{n+2}} +\right)}_{(I)} +-B \underbrace{\left( +\frac{1}{z_2^{n+1}}+ +\frac{1}{z_2^{n+2}} +\right)}_{(II)} = +}$$ + +$$\Large{ += -A \frac{1}{z_1^{n+3}} +-B \frac{1}{z_2^{n+3}} = +a_{n+2}, \text{Q.E.D.} +}$$ + +## Выводы + +В данной публикации были рассмотрены: +- получение производящей функции из рекуррентного уравнения; +- разложение функции в ряд для нахождения $n$-го члена последовательности; +- доказана верность полученной формулы с помощью математической индукции. + +Очевидно, что полезность данной формулы в случае чисел Фибоначчи сомнительна. Но она может служить полезным примером того, как можно решить линейное рекуррентное уравнение. diff --git a/docs/maths/index.md b/docs/maths/index.md index 6c47b2b..9ef6154 100644 --- a/docs/maths/index.md +++ b/docs/maths/index.md @@ -3,3 +3,5 @@ # Статистика ## 2024-09-24 [Немного про Байесовскую статистику](baes.md) + +## 2024-10-30 [Приложение производящей функции последовательности к числам Фибоначчи](gen_fun.md) From b92c2fcc1a145a79b1a184e7878668f7f0b93f83 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Basyrov Rustam Date: Wed, 30 Oct 2024 18:41:04 +0300 Subject: [PATCH 2/3] pretty fixes --- docs/maths/gen_fun.md | 33 +++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 21 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/docs/maths/gen_fun.md b/docs/maths/gen_fun.md index d144566..5c3f6f8 100644 --- a/docs/maths/gen_fun.md +++ b/docs/maths/gen_fun.md @@ -50,6 +50,7 @@ _**Математическая индукция** — метод математ ([Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F)) Нам понадобится этот метод для того, чтобы доказать верность формулы, которую мы получим. Применяя к нашему случаю, можно сформулировать идею доказательства так: + 1. Нужно доказать **базу индукции**. То есть, что формула верна для $a_0$ и $a_1$. 2. Нужно доказать **переход индукции**. В нашем случае, это означает, что нужно проверить, что формула удовлетворяет изначальному рекуррентному уравнению. @@ -97,12 +98,12 @@ $$ Рассмотрим $(I)$ и $(II)$. $$\Large{ -(I) = \sum_{n=2}^\infty a_{n-1} z^{n-1} = \Big< +(I) = \sum_{n=2}^\infty a_{n-1} z^{n-1} = \left< \begin{split} k = n-1\\ n = k+1 \end{split} -\Big> = \sum_{k=1}^\infty a_{k} z^{k} = +\right> = \sum_{k=1}^\infty a_{k} z^{k} = }$$ $$\Large{ @@ -111,17 +112,20 @@ $$\Large{ }$$ $$\Large{ -(II) = \sum_{n=2}^\infty a_{n-2} z^{n-2} = \Big< +(II) = \sum_{n=2}^\infty a_{n-2} z^{n-2} = +\left< \begin{split} k = n-2\\ n = k+2 \end{split} -\Big> = \sum_{k=0}^\infty a_{k} z^{k} = G(z) +\right> += \sum_{k=0}^\infty a_{k} z^{k} = G(z) }$$ -Здесь мы производим замену и приводим суммы к виду $\sum_{i=0}^\infty a_iz^i$. Очевидно, значение суммы не зависит от названия счетчика $i$. +Здесь мы производим замену и приводим суммы к виду $\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i$. Очевидно, значение суммы не зависит от названия счетчика $i$. Таким образом: + $$\Large{ G(z) = a_0 + a_1 z + z \left( G\left(z\right) - a_0 \right) + z^2G(z) = }$$ @@ -146,7 +150,7 @@ $$\Large{ G(z) = \frac{a_0 +a_1z-a_0z}{1 - z - z^2} }$$ -*Замечание*: получившееся дробь правильная. То есть степень многочлена в знаменателе больше, чем в числителе. +> *Замечание*: получившееся дробь правильная. То есть степень многочлена в знаменателе больше, чем в числителе. ## Разложение дроби на элементарные дроби @@ -204,8 +208,8 @@ a_0 + z(a_1 - a_0) = -Az + Az_2 - Bz + Bz_1 = (Az_2 + Bz_1) + z(-A -B) $$\Large{ \begin{cases} - a_0 = Az_2 + B z_1\\ - a_1 - a_0 = -A-B + &Az_2 &+ &B z_1 &= a_0\\ + &A &+ &B &= a_0 - a_1 \end{cases} }$$ @@ -260,6 +264,7 @@ $$\Large{ }$$ Проведя аналогичные вычисления для $B$ получим: + $$\Large{ B = \frac{a_0}{z_1-z_2} - z_2 \frac{a_0-a_1}{z_1-z_2} }$$ @@ -291,8 +296,9 @@ z_1z_2 = \frac{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{2\cdot2} = \frac{1-5}{4} = -1 }$$ Подставив результат в наше выражение: + $$\Large{ --\frac{a_0}{-1} = a_0, \text{Q.E.D.} +-\frac{a_0}{-1} = a_0, \text{ Q.E.D.} }$$ #### $n = 1$ @@ -335,6 +341,7 @@ $$\Large{ }$$ Как мы доказали: + $$\Large{ z_1z_2 = -1 }$$ @@ -344,7 +351,9 @@ z_1z_2 = -1 $$\Large{ z_1+z_2 = \frac{-1- \cancelto{0}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} --1}{2} = -1 +-1}{2} = +\frac{-1-1}{2} = +-1 }$$ Подставив значения в выражение, получим: @@ -360,7 +369,7 @@ $$\Large{ = -\left( \cancelto{0}{a_0 - a_0} -a_1 -\right) = -(-a_1) = a_1, \text{Q.E.D.} +\right) = -(-a_1) = a_1, \text{ Q.E.D.} }$$ ### Переход индукции @@ -483,7 +492,7 @@ $$\Large{ $$\Large{ = -A \frac{1}{z_1^{n+3}} -B \frac{1}{z_2^{n+3}} = -a_{n+2}, \text{Q.E.D.} +a_{n+2}, \text{ Q.E.D.} }$$ ## Выводы From 7cc26916938234ad015ca9670d69ff4a275e7042 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Basyrov Rustam Date: Thu, 31 Oct 2024 10:04:08 +0300 Subject: [PATCH 3/3] some cosmetic and rename article --- docs/maths/gen_fun.md | 16 +++++++++------- docs/maths/index.md | 2 +- 2 files changed, 10 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/docs/maths/gen_fun.md b/docs/maths/gen_fun.md index 5c3f6f8..8b37ff2 100644 --- a/docs/maths/gen_fun.md +++ b/docs/maths/gen_fun.md @@ -1,4 +1,4 @@ -# Приложение производящей функции последовательности к числам Фибоначчи +# Немного про производящие функции ## Мотивация Идея данной публикации родилась в процессе чтения статьи на [викиконспектах](https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D1.80.D0.B5.D1.88.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D0.B7.D0.B0.D0.B4.D0.B0.D1.87_.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4.D0.BE.D0.BC_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B7.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D1.8F.D1.89.D0.B8.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9) о производящих рядах. Мне показалось очень интересным, что существует способ решения рекуррентных уравнений с помощью бесконечных сумм. @@ -107,7 +107,9 @@ n = k+1 }$$ $$\Large{ -= a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_{k} z^{k} - a_0 += \underbrace{a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_{k} z^{k}}_ +{\sum_{k=0}^\infty a_{k} z^{k}} +- a_0 = \sum_{k=0}^\infty a_{k} z^{k} - a_0 = G(z) - a_0 }$$ @@ -226,11 +228,11 @@ $$\Large{ $$\Large{ \begin{cases} -z_{1} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ -z_{2} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ -A = a_0 - a_1 - \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ -B = \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ -G(z) = \frac{A}{z - z_1} + \frac{B}{z - z_2} +z_{1} &= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ +z_{2} &= - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ +A &= a_0 - a_1 - \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ +B &= \frac{a_0 - a_0z_2 + a_1z_2}{z_1-z_2}\\ +G(z) &= \frac{A}{z - z_1} + \frac{B}{z - z_2} \end{cases} }$$ diff --git a/docs/maths/index.md b/docs/maths/index.md index 9ef6154..dc300ad 100644 --- a/docs/maths/index.md +++ b/docs/maths/index.md @@ -4,4 +4,4 @@ ## 2024-09-24 [Немного про Байесовскую статистику](baes.md) -## 2024-10-30 [Приложение производящей функции последовательности к числам Фибоначчи](gen_fun.md) +## 2024-10-30 [Немного про производящие функции](gen_fun.md)