651 lines
26 KiB
HTML
651 lines
26 KiB
HTML
|
||
<!doctype html>
|
||
<html lang="en" class="no-js">
|
||
<head>
|
||
|
||
<meta charset="utf-8">
|
||
<meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1">
|
||
|
||
|
||
|
||
<link rel="canonical" href="https://rustbas.github.io/blog/maths/stat-madness/">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<link rel="icon" href="../../assets/images/favicon.png">
|
||
<meta name="generator" content="mkdocs-1.6.1, mkdocs-material-9.6.14">
|
||
|
||
|
||
|
||
<title>Немного про проверку гипотез - Очередные записки очередного гика</title>
|
||
|
||
|
||
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../assets/stylesheets/main.342714a4.min.css">
|
||
|
||
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../assets/stylesheets/palette.06af60db.min.css">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
|
||
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Roboto:300,300i,400,400i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
|
||
<style>:root{--md-text-font:"Roboto";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
|
||
|
||
|
||
|
||
<script>__md_scope=new URL("../..",location),__md_hash=e=>[...e].reduce(((e,_)=>(e<<5)-e+_.charCodeAt(0)),0),__md_get=(e,_=localStorage,t=__md_scope)=>JSON.parse(_.getItem(t.pathname+"."+e)),__md_set=(e,_,t=localStorage,a=__md_scope)=>{try{t.setItem(a.pathname+"."+e,JSON.stringify(_))}catch(e){}}</script>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
</head>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<body dir="ltr" data-md-color-scheme="default" data-md-color-primary="green" data-md-color-accent="indigo">
|
||
|
||
|
||
<input class="md-toggle" data-md-toggle="drawer" type="checkbox" id="__drawer" autocomplete="off">
|
||
<input class="md-toggle" data-md-toggle="search" type="checkbox" id="__search" autocomplete="off">
|
||
<label class="md-overlay" for="__drawer"></label>
|
||
<div data-md-component="skip">
|
||
|
||
|
||
<a href="#_1" class="md-skip">
|
||
Skip to content
|
||
</a>
|
||
|
||
</div>
|
||
<div data-md-component="announce">
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<header class="md-header md-header--shadow" data-md-component="header">
|
||
<nav class="md-header__inner md-grid" aria-label="Header">
|
||
<a href="../.." title="Очередные записки очередного гика" class="md-header__button md-logo" aria-label="Очередные записки очередного гика" data-md-component="logo">
|
||
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M12 8a3 3 0 0 0 3-3 3 3 0 0 0-3-3 3 3 0 0 0-3 3 3 3 0 0 0 3 3m0 3.54C9.64 9.35 6.5 8 3 8v11c3.5 0 6.64 1.35 9 3.54 2.36-2.19 5.5-3.54 9-3.54V8c-3.5 0-6.64 1.35-9 3.54"/></svg>
|
||
|
||
</a>
|
||
<label class="md-header__button md-icon" for="__drawer">
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M3 6h18v2H3zm0 5h18v2H3zm0 5h18v2H3z"/></svg>
|
||
</label>
|
||
<div class="md-header__title" data-md-component="header-title">
|
||
<div class="md-header__ellipsis">
|
||
<div class="md-header__topic">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Очередные записки очередного гика
|
||
</span>
|
||
</div>
|
||
<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
|
||
Немного про проверку гипотез
|
||
|
||
</span>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
<form class="md-header__option" data-md-component="palette">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<input class="md-option" data-md-color-media="" data-md-color-scheme="default" data-md-color-primary="green" data-md-color-accent="indigo" aria-label="Switch to dark mode" type="radio" name="__palette" id="__palette_0">
|
||
|
||
<label class="md-header__button md-icon" title="Switch to dark mode" for="__palette_1" hidden>
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M17 7H7a5 5 0 0 0-5 5 5 5 0 0 0 5 5h10a5 5 0 0 0 5-5 5 5 0 0 0-5-5m0 8a3 3 0 0 1-3-3 3 3 0 0 1 3-3 3 3 0 0 1 3 3 3 3 0 0 1-3 3"/></svg>
|
||
</label>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<input class="md-option" data-md-color-media="" data-md-color-scheme="slate" data-md-color-primary="teal" data-md-color-accent="indigo" aria-label="Switch to light mode" type="radio" name="__palette" id="__palette_1">
|
||
|
||
<label class="md-header__button md-icon" title="Switch to light mode" for="__palette_0" hidden>
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M17 6H7c-3.31 0-6 2.69-6 6s2.69 6 6 6h10c3.31 0 6-2.69 6-6s-2.69-6-6-6m0 10H7c-2.21 0-4-1.79-4-4s1.79-4 4-4h10c2.21 0 4 1.79 4 4s-1.79 4-4 4M7 9c-1.66 0-3 1.34-3 3s1.34 3 3 3 3-1.34 3-3-1.34-3-3-3"/></svg>
|
||
</label>
|
||
|
||
|
||
</form>
|
||
|
||
|
||
|
||
<script>var palette=__md_get("__palette");if(palette&&palette.color){if("(prefers-color-scheme)"===palette.color.media){var media=matchMedia("(prefers-color-scheme: light)"),input=document.querySelector(media.matches?"[data-md-color-media='(prefers-color-scheme: light)']":"[data-md-color-media='(prefers-color-scheme: dark)']");palette.color.media=input.getAttribute("data-md-color-media"),palette.color.scheme=input.getAttribute("data-md-color-scheme"),palette.color.primary=input.getAttribute("data-md-color-primary"),palette.color.accent=input.getAttribute("data-md-color-accent")}for(var[key,value]of Object.entries(palette.color))document.body.setAttribute("data-md-color-"+key,value)}</script>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<label class="md-header__button md-icon" for="__search">
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M9.5 3A6.5 6.5 0 0 1 16 9.5c0 1.61-.59 3.09-1.56 4.23l.27.27h.79l5 5-1.5 1.5-5-5v-.79l-.27-.27A6.52 6.52 0 0 1 9.5 16 6.5 6.5 0 0 1 3 9.5 6.5 6.5 0 0 1 9.5 3m0 2C7 5 5 7 5 9.5S7 14 9.5 14 14 12 14 9.5 12 5 9.5 5"/></svg>
|
||
</label>
|
||
<div class="md-search" data-md-component="search" role="dialog">
|
||
<label class="md-search__overlay" for="__search"></label>
|
||
<div class="md-search__inner" role="search">
|
||
<form class="md-search__form" name="search">
|
||
<input type="text" class="md-search__input" name="query" aria-label="Search" placeholder="Search" autocapitalize="off" autocorrect="off" autocomplete="off" spellcheck="false" data-md-component="search-query" required>
|
||
<label class="md-search__icon md-icon" for="__search">
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M9.5 3A6.5 6.5 0 0 1 16 9.5c0 1.61-.59 3.09-1.56 4.23l.27.27h.79l5 5-1.5 1.5-5-5v-.79l-.27-.27A6.52 6.52 0 0 1 9.5 16 6.5 6.5 0 0 1 3 9.5 6.5 6.5 0 0 1 9.5 3m0 2C7 5 5 7 5 9.5S7 14 9.5 14 14 12 14 9.5 12 5 9.5 5"/></svg>
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M20 11v2H8l5.5 5.5-1.42 1.42L4.16 12l7.92-7.92L13.5 5.5 8 11z"/></svg>
|
||
</label>
|
||
<nav class="md-search__options" aria-label="Search">
|
||
|
||
<button type="reset" class="md-search__icon md-icon" title="Clear" aria-label="Clear" tabindex="-1">
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M19 6.41 17.59 5 12 10.59 6.41 5 5 6.41 10.59 12 5 17.59 6.41 19 12 13.41 17.59 19 19 17.59 13.41 12z"/></svg>
|
||
</button>
|
||
</nav>
|
||
|
||
</form>
|
||
<div class="md-search__output">
|
||
<div class="md-search__scrollwrap" tabindex="0" data-md-scrollfix>
|
||
<div class="md-search-result" data-md-component="search-result">
|
||
<div class="md-search-result__meta">
|
||
Initializing search
|
||
</div>
|
||
<ol class="md-search-result__list" role="presentation"></ol>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
|
||
<div class="md-header__source">
|
||
<a href="https://github.com/rustbas/blog" title="Go to repository" class="md-source" data-md-component="source">
|
||
<div class="md-source__icon md-icon">
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 512 512"><!--! Font Awesome Free 6.7.2 by @fontawesome - https://fontawesome.com License - https://fontawesome.com/license/free (Icons: CC BY 4.0, Fonts: SIL OFL 1.1, Code: MIT License) Copyright 2024 Fonticons, Inc.--><path d="M216.29 158.39H137C97 147.9 6.51 150.63 6.51 233.18c0 30.09 15 51.23 35 61-25.1 23-37 33.85-37 49.21 0 11 4.47 21.14 17.89 26.81C8.13 383.61 0 393.35 0 411.65c0 32.11 28.05 50.82 101.63 50.82 70.75 0 111.79-26.42 111.79-73.18 0-58.66-45.16-56.5-151.63-63l13.43-21.55c27.27 7.58 118.7 10 118.7-67.89 0-18.7-7.73-31.71-15-41.07l37.41-2.84zm-63.42 241.9c0 32.06-104.89 32.1-104.89 2.43 0-8.14 5.27-15 10.57-21.54 77.71 5.3 94.32 3.37 94.32 19.11m-50.81-134.58c-52.8 0-50.46-71.16 1.2-71.16 49.54 0 50.82 71.16-1.2 71.16m133.3 100.51v-32.1c26.75-3.66 27.24-2 27.24-11V203.61c0-8.5-2.05-7.38-27.24-16.26l4.47-32.92H324v168.71c0 6.51.4 7.32 6.51 8.14l20.73 2.84v32.1zm52.45-244.31c-23.17 0-36.59-13.43-36.59-36.61s13.42-35.77 36.59-35.77c23.58 0 37 12.62 37 35.77s-13.42 36.61-37 36.61M512 350.46c-17.49 8.53-43.1 16.26-66.28 16.26-48.38 0-66.67-19.5-66.67-65.46V194.75c0-5.42 1.05-4.06-31.71-4.06V154.5c35.78-4.07 50-22 54.47-66.27h38.63c0 65.83-1.34 61.81 3.26 61.81H501v40.65h-60.56v97.15c0 6.92-4.92 51.41 60.57 26.84z"/></svg>
|
||
</div>
|
||
<div class="md-source__repository">
|
||
GitHub
|
||
</div>
|
||
</a>
|
||
</div>
|
||
|
||
</nav>
|
||
|
||
</header>
|
||
|
||
<div class="md-container" data-md-component="container">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<main class="md-main" data-md-component="main">
|
||
<div class="md-main__inner md-grid">
|
||
|
||
|
||
|
||
<div class="md-sidebar md-sidebar--primary" data-md-component="sidebar" data-md-type="navigation" >
|
||
<div class="md-sidebar__scrollwrap">
|
||
<div class="md-sidebar__inner">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<nav class="md-nav md-nav--primary" aria-label="Navigation" data-md-level="0">
|
||
<label class="md-nav__title" for="__drawer">
|
||
<a href="../.." title="Очередные записки очередного гика" class="md-nav__button md-logo" aria-label="Очередные записки очередного гика" data-md-component="logo">
|
||
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M12 8a3 3 0 0 0 3-3 3 3 0 0 0-3-3 3 3 0 0 0-3 3 3 3 0 0 0 3 3m0 3.54C9.64 9.35 6.5 8 3 8v11c3.5 0 6.64 1.35 9 3.54 2.36-2.19 5.5-3.54 9-3.54V8c-3.5 0-6.64 1.35-9 3.54"/></svg>
|
||
|
||
</a>
|
||
Очередные записки очередного гика
|
||
</label>
|
||
|
||
<div class="md-nav__source">
|
||
<a href="https://github.com/rustbas/blog" title="Go to repository" class="md-source" data-md-component="source">
|
||
<div class="md-source__icon md-icon">
|
||
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 512 512"><!--! Font Awesome Free 6.7.2 by @fontawesome - https://fontawesome.com License - https://fontawesome.com/license/free (Icons: CC BY 4.0, Fonts: SIL OFL 1.1, Code: MIT License) Copyright 2024 Fonticons, Inc.--><path d="M216.29 158.39H137C97 147.9 6.51 150.63 6.51 233.18c0 30.09 15 51.23 35 61-25.1 23-37 33.85-37 49.21 0 11 4.47 21.14 17.89 26.81C8.13 383.61 0 393.35 0 411.65c0 32.11 28.05 50.82 101.63 50.82 70.75 0 111.79-26.42 111.79-73.18 0-58.66-45.16-56.5-151.63-63l13.43-21.55c27.27 7.58 118.7 10 118.7-67.89 0-18.7-7.73-31.71-15-41.07l37.41-2.84zm-63.42 241.9c0 32.06-104.89 32.1-104.89 2.43 0-8.14 5.27-15 10.57-21.54 77.71 5.3 94.32 3.37 94.32 19.11m-50.81-134.58c-52.8 0-50.46-71.16 1.2-71.16 49.54 0 50.82 71.16-1.2 71.16m133.3 100.51v-32.1c26.75-3.66 27.24-2 27.24-11V203.61c0-8.5-2.05-7.38-27.24-16.26l4.47-32.92H324v168.71c0 6.51.4 7.32 6.51 8.14l20.73 2.84v32.1zm52.45-244.31c-23.17 0-36.59-13.43-36.59-36.61s13.42-35.77 36.59-35.77c23.58 0 37 12.62 37 35.77s-13.42 36.61-37 36.61M512 350.46c-17.49 8.53-43.1 16.26-66.28 16.26-48.38 0-66.67-19.5-66.67-65.46V194.75c0-5.42 1.05-4.06-31.71-4.06V154.5c35.78-4.07 50-22 54.47-66.27h38.63c0 65.83-1.34 61.81 3.26 61.81H501v40.65h-60.56v97.15c0 6.92-4.92 51.41 60.57 26.84z"/></svg>
|
||
</div>
|
||
<div class="md-source__repository">
|
||
GitHub
|
||
</div>
|
||
</a>
|
||
</div>
|
||
|
||
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="../" class="md-nav__link">
|
||
|
||
|
||
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Математика
|
||
|
||
</span>
|
||
|
||
|
||
</a>
|
||
</li>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="../../linux/" class="md-nav__link">
|
||
|
||
|
||
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Linux
|
||
|
||
</span>
|
||
|
||
|
||
</a>
|
||
</li>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="../../common/" class="md-nav__link">
|
||
|
||
|
||
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Общее
|
||
|
||
</span>
|
||
|
||
|
||
</a>
|
||
</li>
|
||
|
||
|
||
|
||
</ul>
|
||
</nav>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
|
||
<div class="md-sidebar md-sidebar--secondary" data-md-component="sidebar" data-md-type="toc" >
|
||
<div class="md-sidebar__scrollwrap">
|
||
<div class="md-sidebar__inner">
|
||
|
||
|
||
<nav class="md-nav md-nav--secondary" aria-label="Table of contents">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<label class="md-nav__title" for="__toc">
|
||
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
|
||
Table of contents
|
||
</label>
|
||
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="#_2" class="md-nav__link">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Введение
|
||
</span>
|
||
</a>
|
||
|
||
</li>
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="#_3" class="md-nav__link">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Небольшой ликбез
|
||
</span>
|
||
</a>
|
||
|
||
</li>
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="#1" class="md-nav__link">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Стадия 1. Строгие доказательства
|
||
</span>
|
||
</a>
|
||
|
||
</li>
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="#_4" class="md-nav__link">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Небольшой пример (критерий Стьюдента)
|
||
</span>
|
||
</a>
|
||
|
||
</li>
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="#2" class="md-nav__link">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Стадия 2. Открытие моделирования
|
||
</span>
|
||
</a>
|
||
|
||
</li>
|
||
|
||
<li class="md-nav__item">
|
||
<a href="#3" class="md-nav__link">
|
||
<span class="md-ellipsis">
|
||
Стадия 3. Бутстрэп
|
||
</span>
|
||
</a>
|
||
|
||
</li>
|
||
|
||
</ul>
|
||
|
||
</nav>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
|
||
<div class="md-content" data-md-component="content">
|
||
<article class="md-content__inner md-typeset">
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<h1 id="_1">Немного про проверку гипотез</h1>
|
||
<h2 id="_2">Введение</h2>
|
||
<p>Любые статистические испытания зиждятся на проверке гипотез, например:</p>
|
||
<ol>
|
||
<li>Проверка действия лекарств.</li>
|
||
<li>Установление зависимости между явлениями.</li>
|
||
<li>A/B тестирование и пр.</li>
|
||
</ol>
|
||
<p>В зависимости от вида данных, целей исследования и других факторов
|
||
можно по-разному формулировать гипотезы и по-разному их проверять.</p>
|
||
<p>Многое зависит от не только знаний и опыта исследователя, но и в целом
|
||
от его подхода. В процессе работы можно все меньше уделять внимание
|
||
математической составляющей и все больше полагаться на компьютер и его
|
||
вычислительные мощности.</p>
|
||
<p>Здесь я хочу рассказать о стадиях, через которые проходит исследователь,
|
||
в попытках упростить себе жизнь и ускорить процесс проверки гипотез.</p>
|
||
<h2 id="_3">Небольшой ликбез</h2>
|
||
<p>В статистике, если упростить, проверку гипотезы можно описать так: </p>
|
||
<ol>
|
||
<li>По данной выборке считается статистика (т.е. функция от выборки).</li>
|
||
<li>Из распределения статистики находятся две области, где гипотеза отвергается и где нет. Исходя из этого, принимается решение.</li>
|
||
</ol>
|
||
<p><strong>N.B.</strong> Проверяется гипотеза, модель постулируется.</p>
|
||
<h2 id="1">Стадия 1. Строгие доказательства</h2>
|
||
<p>На данной стадии ученый строго выводит распределения статистик, чтобы построить как можно более хорошие критерии. </p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
\sqrt{n}
|
||
\frac
|
||
{\overline{\mathbb{X}} - \mu}
|
||
{S} =
|
||
\sqrt{n}
|
||
\frac
|
||
{\overline{\mathbb{X}} - \mu}
|
||
{\sigma} \cdot
|
||
\frac{1}
|
||
{\frac{S}{\sigma}} =
|
||
\]</div>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
= \sqrt{n}
|
||
\frac
|
||
{\overline{\mathbb{X}} - \mu}
|
||
{\sigma} \cdot
|
||
\frac{1}
|
||
{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\cdot
|
||
\frac{1}{n-1}
|
||
}}
|
||
\]</div>
|
||
<p>Получим:</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
\begin{matrix}
|
||
&\sqrt{n}
|
||
\frac{\overline{\mathbb{X}} - \mu}
|
||
{\sigma} &\sim &N(0,1) \\
|
||
&\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} &\sim &\chi^2(n-1)
|
||
\end{matrix}
|
||
\]</div>
|
||
<p>Таким образом, по <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента#Определение">определению</a>:</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
\sqrt{n}
|
||
\frac
|
||
{\overline{\mathbb{X}} - \mu}
|
||
{S} \sim t(n-1).
|
||
\]</div>
|
||
<h2 id="_4">Небольшой пример (критерий Стьюдента)</h2>
|
||
<p><strong>Дано</strong>: выборка Х объема 10</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
\mathbb{X} = \left(
|
||
\begin{matrix}
|
||
3.175 \\
|
||
4.042 \\
|
||
2.127 \\
|
||
3.841 \\
|
||
1.699 \\
|
||
2.223 \\
|
||
3.211 \\
|
||
3.33 \\
|
||
2.447 \\
|
||
2.904
|
||
\end{matrix}
|
||
\right)
|
||
\]</div>
|
||
<p><strong>Модель</strong>: <span class="arithmatex">\(N(\mu, \theta_2)\)</span></p>
|
||
<p><strong>Нулевая гипотеза</strong>: <span class="arithmatex">\(\mu = 3\)</span></p>
|
||
<p><strong>Решение</strong>:</p>
|
||
<p>Статистика критерия:</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
T(\mathbb{X}) =
|
||
\sqrt{n}
|
||
\frac
|
||
{\overline{\mathbb{X}} - \mu}
|
||
{S}
|
||
\sim
|
||
t(n-1)
|
||
\]</div>
|
||
<p>Статистика равна:</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
T(\mathbb{X}) = -1.9066
|
||
\]</div>
|
||
<p>Пусть уровень значимости <span class="arithmatex">\(\alpha = 0.05\)</span>.</p>
|
||
<p>Область, где не отвергается нулевая гипотеза: <span class="arithmatex">\((g_1, g_2) = (-2.262, 2.262)\)</span>, т.е. это область, которую принимает значение статистики при условии верности нулевой гипотезы с вероятностью <span class="arithmatex">\(1 - \alpha = 0.95\)</span>. <span class="arithmatex">\(g_1\)</span> в данном случае это <span class="arithmatex">\(0.025\)</span>-квантиль, а <span class="arithmatex">\(g_2\)</span>, соотвественно, 0.975-квантиль. </p>
|
||
<p><img alt="Доверительный интервал" src="../assets/stat-madness/conf_interval.png" /></p>
|
||
<p>Красным обозначен интервал <span class="arithmatex">\((g_1, g_2)\)</span></p>
|
||
<p>Таким образом, нулевая гипотеза не отвергается, так как значение статистики лежит в данном интервале.</p>
|
||
<blockquote>
|
||
<p><strong>Примечание</strong>: можно было выбрать доверительный интервал иначе,
|
||
но его стараются выбрать так, чтобы минимизировать его длину.</p>
|
||
</blockquote>
|
||
<h2 id="2">Стадия 2. Открытие моделирования</h2>
|
||
<p>Иногда (вернее, даже как правило) распределение статистики вывести
|
||
невозможно. В таком случае пользуются моделированием. Идея в том, что
|
||
нам известно распределение выборки в случае нулевой гипотезы. Таким
|
||
образом, можно многократно генерировать выборки и считать статистику,
|
||
таким образом получив ее распределение.</p>
|
||
<p><img alt="Открытие моделирования" src="../assets/stat-madness/modeling.png" /></p>
|
||
<p>В данном случае, моделирование выборки проводилось
|
||
в условиях <span class="arithmatex">\(X \sim N(\mu, S^2)\)</span>.</p>
|
||
<p>Можно увидеть некоторое расхождение. В этом, кстати, заключается интересный
|
||
момент. Часто критикуются исследования построенные на моделировании, так как
|
||
есть ненулевая (хоть и очень маленькая) вероятность, что выборки
|
||
сгенерировались так, что полученное распределение статистики плохо отражает
|
||
реальность.</p>
|
||
<h2 id="3">Стадия 3. Бутстрэп</h2>
|
||
<p>Бывают случаи, когда распределение выборки неизвестно совсем
|
||
(или его сложно/нельзя в обычном смысле генерировать,
|
||
<a href="https://stepik.org/lesson/40491/step/1?unit=24794">пример</a>). В таком случае
|
||
постулируют, что данная выборка хорошо отражает генеральную совокупность и в
|
||
качестве функции распределения берут эмпирическую функцию распределения.</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
F_n(x) = \frac
|
||
{\sum_{i=1}^{n} \mathbb{1}(x)}
|
||
{n}
|
||
\]</div>
|
||
<p>где:</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
\mathbb{1}(x) =
|
||
\begin{cases}
|
||
1, x > X_i, \\
|
||
0, \text{ иначе.}
|
||
\end{cases}
|
||
\]</div>
|
||
<p>В итоге, получается, что для проверки гипотез не нужно ничего кроме выборки и выдуманной статистики (которая, вообще, может быть любой, от нее зависит только качество получаемого критерия).</p>
|
||
<p>Основная идея заключается в том, чтобы генерировать выборки объемом как и данная выборка из следующего распределения:</p>
|
||
<div class="arithmatex">\[\Large
|
||
\mathcal{F} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
X_1 &X_2 &\cdots &X_n \\
|
||
\frac{1}{n} &\frac{1}{n} &\cdots &\frac{1}{n}
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
\]</div>
|
||
<p><img alt="Результат на выборке объема 10" src="../assets/stat-madness/bootstrap.png" /></p>
|
||
<p>Таким образом, из расхождения графиков можно сделать следующие выводы:</p>
|
||
<ul>
|
||
<li>применение бутстрэпа требует большой объема первоначальной выборки,</li>
|
||
<li>наблюдения в выборке должны быть независимыми.</li>
|
||
</ul>
|
||
<p>Несмотря на это, он часто применяется невпопад, так как не требует особых затрат на реализацию.</p>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<aside class="md-source-file">
|
||
|
||
|
||
<span class="md-source-file__fact">
|
||
<span class="md-icon" title="Last update">
|
||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M21 13.1c-.1 0-.3.1-.4.2l-1 1 2.1 2.1 1-1c.2-.2.2-.6 0-.8l-1.3-1.3c-.1-.1-.2-.2-.4-.2m-1.9 1.8-6.1 6V23h2.1l6.1-6.1zM12.5 7v5.2l4 2.4-1 1L11 13V7zM11 21.9c-5.1-.5-9-4.8-9-9.9C2 6.5 6.5 2 12 2c5.3 0 9.6 4.1 10 9.3-.3-.1-.6-.2-1-.2s-.7.1-1 .2C19.6 7.2 16.2 4 12 4c-4.4 0-8 3.6-8 8 0 4.1 3.1 7.5 7.1 7.9l-.1.2z"/></svg>
|
||
</span>
|
||
2025-06-02
|
||
</span>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
</aside>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
</article>
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
<script>var target=document.getElementById(location.hash.slice(1));target&&target.name&&(target.checked=target.name.startsWith("__tabbed_"))</script>
|
||
</div>
|
||
|
||
</main>
|
||
|
||
<footer class="md-footer">
|
||
|
||
<div class="md-footer-meta md-typeset">
|
||
<div class="md-footer-meta__inner md-grid">
|
||
<div class="md-copyright">
|
||
|
||
|
||
Made with
|
||
<a href="https://squidfunk.github.io/mkdocs-material/" target="_blank" rel="noopener">
|
||
Material for MkDocs
|
||
</a>
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
</footer>
|
||
|
||
</div>
|
||
<div class="md-dialog" data-md-component="dialog">
|
||
<div class="md-dialog__inner md-typeset"></div>
|
||
</div>
|
||
|
||
<div class="md-progress" data-md-component="progress" role="progressbar"></div>
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<script id="__config" type="application/json">{"base": "../..", "features": ["navigation.instant", "navigation.instant.progress", "header.autohide"], "search": "../../assets/javascripts/workers/search.d50fe291.min.js", "tags": null, "translations": {"clipboard.copied": "Copied to clipboard", "clipboard.copy": "Copy to clipboard", "search.result.more.one": "1 more on this page", "search.result.more.other": "# more on this page", "search.result.none": "No matching documents", "search.result.one": "1 matching document", "search.result.other": "# matching documents", "search.result.placeholder": "Type to start searching", "search.result.term.missing": "Missing", "select.version": "Select version"}, "version": null}</script>
|
||
|
||
|
||
<script src="../../assets/javascripts/bundle.13a4f30d.min.js"></script>
|
||
|
||
<script src="../../javascripts/mathjax.js"></script>
|
||
|
||
<script src="https://unpkg.com/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
|
||
|
||
|
||
</body>
|
||
</html> |